Desafio da quinta – III

  • Sabe-se que todo número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma os, então 1, p, p2, …,ps os são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:
    a) 25
    b) 87  resposta correta 
    c) 112
    d) 121
    e) 169

Solução

 

Pela definição acima, os números primos maiores do que 1 cujos quadrados são menores do que 100 têm 3 divisores, a saber: 1, o próprio número e o quadrado do número.
Por conceito, todos os números que não são primos são divisíveis por mais do que 2 números.
Os números primos menores que 100 são:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Todos eles têm apenas 2 divisores (o 1 e o próprio número).
Assim sendo, tirados os primos, os únicos que são divisíveis por apenas 3 números são os quadrados dos primos.
Como queremos apenas os menores que 100, vamos ver os quadrados perfeitos de primos menores que 100.
2² = 4;
3² = 9;
5² = 25;
7² = 49.
Então, o que queremos é a soma: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

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