ITA- SP

  • Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio ( x + y )m , temos que o número de arranjos sem repetição de n elementos, tomados 2 a 2, é:

a) 80

b) 90   resposta correta 

c) 70

d) 100

e) 60

 

solução

 

Para obter a soma dos coeficientes, basta substituir x e y por 1:

( 1 + 1 )n = 2n = 1024 = 210   

n = 10

O arranjo sem repetição de 10 elementos, tomados 2 a 2, é:

 

A10,2 = 10!/8!

 

A10,2 = 90

Carnaval – II

  • Uma associação de moradores, para comemorar o aniversário de seu bairro, organizou um torneio de truco. Após o término das inscrições, notou-se que 56% dos inscritos no torneio tinham menos de 30 anos e 46% eram solteiros. Se 31% dos inscritos eram solteiros e tinham menos de 30 anos, qual é a probabilidade de que um inscrito escolhido ao acaso fosse solteiro ou tivesse menos de 30 anos ( ou ambos)?

 

Desenvolvimento

 

Considerando o universo de inscritos no torneio, a probabilidade de um escolhido ao acaso ser solteiro é p(S) = 0,46 e a probabilidade de ele ter menos de 30 anos é de p(T) = 0,56. Além disso, sabemos que a probabilidade de ser solteiro e ter menos de 30 anos é p(S ∩ T) = 0,31. Como p(S U T) = p(S) + p(T) -p(S ∩ T), temos que p(S U T) = 0,46 + 0,56 – 0,31 = 0,71, portanto a probabilidade desejada é de 71%.

Carnaval – I

  • Para se ter ideia do perfil dos candidatos ao curso de Odontologia em um vestibular, 600 estudantes candidatos a esse curso foram selecionados ao acesso e entrevistados, sendo que, entre esses, 260 eram homens. Descobriu-se que 140 desses homens e 100 das mulheres entrevistadas já estavam cursando o ensino superior em outra instituição. Se um dos 600 estudantes entrevistados for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser uma mulher que, no momento da entrevista, não estava cursando o ensino superior é igual a:

 

a) 0,12

b) 0,57

c) 0,40  resposta correta 

d) 0,70

e) 0,42

 

 

Desenvolvimento

 

Entre os 600 candidatos, 260 eram homens; logo 340 eram mulheres.

Entre as mulheres, 100 delas já cursavam ensino superior; assim, 240 candidatas não estavam cursando o ensino superior. Logo a probabilidade de selecionar, ao acaso, uma mulher que não estava cursando o ensino superior é de 240/600 =

 

= 0,40

Desafio do Carnaval – I

PUC- RJ

  • Um baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas vermelhas. As cartas estão ordenadas ao acaso.

a) Retiramos uma carta do baralho completo: qual é a probabilidade de que a carta seja vermelha?

Resposta

Retirando-se uma carta do baralho completo, a probabilidade de que a carta seja vermelha é de:

P = 26/52

P = 1/2

b) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que as três cartas sejam vermelhas?

Resposta 

P = 26/52 . 25/51 . 24/50

P = 1/2 . 25/51 . 12/25

P = 6/51

Comentário

Para chegar esse resultado eu simplifiquei, primeiro peguei a primeira fração 26/52( peguei 26 e dividi por 26 = 1; depois peguei o 52 e dividi por 26 = 2 );

A segunda fração eu deixei do mesmo jeito

A terceira fração 24/50( peguei 24 e dividi por 2 = 12; depois peguei o 50 e dividi por 2 = 25).

1/2 . 25/51 .12/25

Como estamos trabalhando com multiplicação e divisão de números fracionários, eu peguei o 25″numerador” da segunda fração e simplifiquei com o 25 ” denominador da terceira fração.

1/2 . 1/51 . 12

12/102 ( dividi o numerador por 2 = 6; depois dividi o denominador por 2 = 51)

Resultado final = 6/51

 

 

c) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que duas cartas sejam vermelhas e uma preta?

Resposta

Retirar uma preta, uma vermelha e uma vermelha:

P1 = 26/52 . 26/51 . 25/50

P1 = 13/102

Retirar uma vermelha, uma preta e uma vermelha:

P2 = P1 = 13/102

Retirar uma vermelha, uma vermelha e uma preta:

P3 = P1 = 13/102

Dessa maneira, a probabilidade de ser retirar 3 cartas, sendo duas vermelhas e uma preta, independente da ordem em que foram retiradas, é de:

P = P1+ P2+ P3 = 39/102

UFG-GO

  • Uma pessoa dispõe de R$ 800,00 para comprar camisas e calças, de modo a obter exatamente vinte trajes distintos. Cada traje consiste de uma calça e uma camisa, que custam R$ 110,00 e R$ 65,00, respectivamente. Considerando-se que cada peça pode fazer parte de mais de um traje, calcule o número de camisas e de calças que a pessoa comprará sem ultrapassar a quantia em dinheiro de que dispõe.

 

 

solução

 

Sejam m o número de camisas compradas e n o número de calças. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de trajes distintos é dado por m . n . Assim, as formas de fatoração mostram que há 8 possibilidades para o valor do par (m,n): (1,20). (20,1), (2,10),(10,2),(4,5),(5,4). Considerando que há a restrição financeira de que 110n + 65n ≤ 800, concluímos que ela comprou 5 camisas e 4 calças.

UECE

  • Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA, AAB,….,AAZ, ABA, ABB,….., ABZ, ACA,…. Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,… Nessas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro foi:

 

a) BAG.

b) BAU.

c) BBC

d) BBG   resposta correta 

 

solução

 

Cada primeira letra admite total de 26² = 676 códigos diferentes. Considerando que 709 – 676 = 33 = 26 + 7 e que há 26 possibilidades diferentes para a terceira letra, o código associado ao último livro é BBG.

 

PUC – RS

  • O número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes também é:

a) 24

b) 48

c) 96  resposta correta 

d) 240

e) 720

 

solução

 

Há 2 maneiras de permutar as vogais entre si e 4! maneiras de permutar as consoantes entre si. Além disso, há 2 maneiras de permutar o bloco de consoantes e o bloco de vogais. Portanto, o número de anagramas que cumprem as condições especificadas é: 4! . 2 . 2 = 96

Enem

  • Uma fábrica possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2.000 peças e a máquina N produz 3.000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, das 2.000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 120 peças, das 3.000 produzidas pela máquina N, também defeitos. Um trabalhador da fábrica escolhe uma peça, e esta é defeituosa.

Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M?

 

a) 3/100

b) 1/25

c) 1/3   resposta correta 

d) 3/7

e) 2/3

 

solução

 

Há 180 peças defeituosas, das quais 60 foram produzidas pela máquina M. Portanto, a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina M é de 60/180 = 1/3